Solução De Sen 2x = Cos X (0 A 2π): Passo A Passo

Ei, pessoal! Tudo bem? Se você está se perguntando como resolver aquela equação trigonométrica sen 2x = cos x no intervalo de 0 a 2π, você veio ao lugar certo! Preparei um guia super detalhado e fácil de entender, com todos os passos e a justificativa para cada um deles. Vamos juntos nessa jornada matemática!

Entendendo o Problema: Sen 2x = Cos x

Antes de tudo, vamos entender o que temos em mãos. A equação sen 2x = cos x parece um pouco intimidadora à primeira vista, mas com as ferramentas certas, podemos desvendá-la facilmente. Nosso objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade dentro do intervalo de 0 a 2π (ou seja, uma volta completa no círculo trigonométrico). E para isso, vamos explorar algumas identidades trigonométricas e técnicas de resolução.

A trigonometria, uma das áreas mais fascinantes da matemática, nos permite explorar as relações entre ângulos e lados de triângulos, e as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente são as estrelas desse show. No nosso caso, temos uma equação que mistura seno e cosseno, e um detalhe importante: o argumento do seno é 2x, o que significa que precisamos de uma estratégia especial para lidar com isso. A chave aqui é usar a identidade do seno do arco duplo. Essa identidade é como um canivete suíço da trigonometria, super útil para simplificar expressões e equações.

A identidade do seno do arco duplo nos diz que sen 2x = 2 sen x cos x. Essa pequena fórmula é o segredo para transformar nossa equação original em algo mais amigável. Ao substituirmos sen 2x por 2 sen x cos x, a equação ganha uma nova cara e se torna muito mais fácil de manipular. Mas por que essa identidade é tão importante? Bem, ela nos permite expressar o seno de um ângulo duplo em termos de senos e cossenos de ângulos simples, o que é crucial para encontrar soluções em problemas como este. Além disso, essa transformação nos possibilita fatorar a equação, um passo fundamental para isolar as soluções.

Então, vamos recapitular. Temos a equação sen 2x = cos x, e nossa missão é encontrar os valores de x no intervalo de 0 a 2π que a tornam verdadeira. Para isso, vamos usar a identidade do seno do arco duplo para reescrever a equação e, em seguida, aplicar técnicas de fatoração para isolar as soluções. Parece um plano, certo? Com paciência e atenção aos detalhes, vamos dominar essa equação e descobrir todas as suas soluções.

Passo 1: Aplicando a Identidade do Seno do Arco Duplo

Lembra da identidade sen 2x = 2 sen x cos x? Ela é a nossa melhor amiga aqui! Vamos substituir sen 2x por 2 sen x cos x na nossa equação original:

2 sen x cos x = cos x

Essa substituição é crucial porque agora temos todos os termos da equação expressos em termos de sen x e cos x, o que facilita a manipulação e a busca pelas soluções. Antes de sair dividindo ambos os lados por cos x (o que pode ser tentador, mas perigoso!), vamos dar um passo atrás e pensar um pouco. Dividir por cos x pode parecer uma boa ideia para simplificar a equação, mas corremos o risco de perder soluções. Por quê? Porque estamos implicitamente assumindo que cos x é diferente de zero. Se cos x for zero, a divisão não é válida e podemos acabar descartando soluções importantes.

Então, qual é a alternativa? Em vez de dividir, vamos usar uma técnica muito mais segura e eficaz: a fatoração. A fatoração é uma ferramenta poderosa na matemática, que nos permite reescrever expressões e equações de uma forma que facilita a identificação de soluções. No nosso caso, vamos mover todos os termos para o mesmo lado da equação e, em seguida, fatorar. Isso nos dará duas expressões que podemos igualar a zero, e cada uma delas nos fornecerá um conjunto de soluções. Essa abordagem garante que não vamos perder nenhuma solução valiosa ao longo do caminho.

Ao invés de dividir, vamos trazer todos os termos para o mesmo lado da equação. Isso significa subtrair cos x de ambos os lados, o que nos dá:

2 sen x cos x - cos x = 0

Agora, podemos ver que cos x é um fator comum nos dois termos. Isso é perfeito para a fatoração! Ao fatorarmos cos x, estamos essencialmente separando a equação em duas partes menores e mais gerenciáveis. Cada uma dessas partes nos dará um conjunto de soluções, e juntos, esses conjuntos formarão o conjunto completo de soluções da equação original. A fatoração é uma técnica que nos ajuda a organizar nossos pensamentos e a abordar o problema de forma sistemática, garantindo que não deixemos nenhuma solução para trás.

Passo 2: Fatorando a Equação

Agora vem a parte legal: vamos fatorar! Temos a equação 2 sen x cos x - cos x = 0. O que podemos colocar em evidência aqui? Exatamente, o cos x! Ao fatorar, obtemos:

cos x (2 sen x - 1) = 0

A fatoração é uma técnica fundamental na matemática, e aqui ela nos permite transformar uma equação complicada em um produto de duas expressões mais simples. Quando um produto de duas expressões é igual a zero, isso significa que pelo menos uma dessas expressões deve ser igual a zero. Essa é a chave para resolver nossa equação. Ao separar a equação em duas partes (cos x = 0 e 2 sen x - 1 = 0), podemos resolver cada uma delas individualmente e, em seguida, combinar as soluções para obter o conjunto completo de soluções da equação original.

Essa fatoração é crucial, pois transforma nossa equação em duas equações menores e mais fáceis de resolver. Agora, podemos analisar cada fator separadamente:

1. cos x = 0
2. 2 sen x - 1 = 0

Cada uma dessas equações representa um problema trigonométrico diferente, e resolveremos cada uma delas isoladamente. A primeira equação, cos x = 0, nos pergunta: para quais ângulos o cosseno é igual a zero? A segunda equação, 2 sen x - 1 = 0, pode ser facilmente transformada em sen x = 1/2, e nos pergunta: para quais ângulos o seno é igual a 1/2? Ao resolvermos essas duas perguntas, encontraremos todos os valores de x que satisfazem a equação original.

A beleza da fatoração é que ela nos dá uma abordagem sistemática para resolver equações complexas. Em vez de tentar adivinhar as soluções ou usar métodos complicados, podemos simplesmente fatorar a equação, separar os fatores e resolver cada um deles individualmente. Isso torna o processo de resolução muito mais organizado e eficiente, e nos ajuda a evitar erros e a encontrar todas as soluções possíveis.

Passo 3: Resolvendo cos x = 0

Vamos começar com a equação cos x = 0. Para quais ângulos no intervalo de 0 a 2π o cosseno é zero? Se você se lembrar do círculo trigonométrico, o cosseno representa a coordenada x de um ponto no círculo. Então, estamos procurando os pontos no círculo onde a coordenada x é zero. Esses pontos estão nos eixos verticais, ou seja, nos ângulos de π/2 e 3π/2.

Visualizar o círculo trigonométrico é uma ferramenta poderosa para resolver equações trigonométricas. O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano, e os ângulos são medidos a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário. Os valores do seno e do cosseno de um ângulo correspondem às coordenadas y e x, respectivamente, do ponto onde o lado terminal do ângulo intercepta o círculo. Ao visualizar o círculo trigonométrico, podemos facilmente identificar os ângulos para os quais o cosseno é zero: π/2 e 3π/2. Esses são os ângulos onde o ponto no círculo está localizado no eixo y, e portanto, a coordenada x (o cosseno) é zero.

Lembrando do círculo trigonométrico, o cosseno é zero nos pontos onde o círculo cruza o eixo y. Isso acontece em dois lugares:

• x = π/2
• x = 3π/2

Esses são os dois ângulos no intervalo de 0 a 2π onde o cosseno é igual a zero. Mas por que isso acontece? Bem, o cosseno de um ângulo é definido como a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa em um triângulo retângulo. No círculo trigonométrico, o cosseno corresponde à coordenada x do ponto no círculo. Quando o ângulo é π/2 (90 graus), o ponto está diretamente acima da origem, no eixo y, e a coordenada x é zero. O mesmo acontece quando o ângulo é 3π/2 (270 graus), mas o ponto está diretamente abaixo da origem.

Então, já temos duas soluções para a nossa equação original: x = π/2 e x = 3π/2. Mas ainda não terminamos! Precisamos resolver a outra parte da equação que obtivemos após a fatoração: 2 sen x - 1 = 0. Vamos em frente e descobrir quais são as outras soluções.

Passo 4: Resolvendo 2 sen x - 1 = 0

Agora vamos para a segunda parte: 2 sen x - 1 = 0. Para resolver essa equação, precisamos isolar o sen x. Adicionando 1 a ambos os lados e dividindo por 2, obtemos:

sen x = 1/2

Agora, a pergunta é: para quais ângulos no intervalo de 0 a 2π o seno é igual a 1/2? Novamente, o círculo trigonométrico é nosso amigo! O seno representa a coordenada y de um ponto no círculo, então estamos procurando os pontos onde a coordenada y é 1/2.

Lembrando do círculo trigonométrico, o seno é igual a 1/2 em dois ângulos no intervalo de 0 a 2π. O primeiro ângulo é π/6 (30 graus), que está no primeiro quadrante. O segundo ângulo é 5π/6 (150 graus), que está no segundo quadrante. Esses dois ângulos compartilham a mesma coordenada y (1/2), mas estão localizados em lados opostos do eixo y.

Se você se lembrar dos ângulos notáveis, vai se lembrar que sen π/6 = 1/2. Então, uma das soluções é:

• x = π/6

Mas não podemos esquecer que o seno também é positivo no segundo quadrante. O ângulo no segundo quadrante que tem o mesmo seno que π/6 é 5π/6. Portanto, temos mais uma solução:

• x = 5π/6

Então, encontramos mais duas soluções para a nossa equação original: x = π/6 e x = 5π/6. Agora, temos todas as soluções! Vamos juntar tudo e ver qual alternativa corresponde às nossas descobertas.

Passo 5: Juntando as Soluções e Encontrando a Resposta

Ufa! Chegamos ao final da nossa jornada matemática. Encontramos quatro soluções para a equação sen 2x = cos x no intervalo de 0 a 2π:

• x = π/2
• x = 3π/2
• x = π/6
• x = 5π/6

Agora, vamos comparar essas soluções com as alternativas fornecidas:

• A) x = π/4
• B) x = π/2
• C) x = 3π/4
• D) x = 5π/4

Podemos ver que a alternativa B (x = π/2) está entre as nossas soluções. Mas as outras alternativas não correspondem a nenhuma das soluções que encontramos. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

Mas não vamos parar por aí! É importante verificar se todas as nossas soluções estão corretas. Podemos fazer isso substituindo cada solução na equação original (sen 2x = cos x) e verificando se a igualdade é verdadeira. Por exemplo, se substituirmos x por π/2, temos:

sen (2 * π/2) = sen π = 0

cos (π/2) = 0

Como 0 = 0, a solução x = π/2 é válida. Podemos fazer o mesmo para as outras soluções e verificar se todas elas satisfazem a equação original.

E aí, pessoal? Conseguimos desvendar essa equação trigonométrica juntos! Espero que este guia passo a passo tenha sido útil e que vocês se sintam mais confiantes para resolver problemas semelhantes. Lembrem-se: a matemática pode parecer desafiadora às vezes, mas com paciência, prática e as ferramentas certas, podemos superar qualquer obstáculo. E o mais importante: não tenham medo de perguntar e explorar. A matemática é uma aventura fascinante, e cada problema resolvido é uma conquista! 😉